Replica trick

Nella meccanica statistica dei vetri di spin ed in altri sistemi che coinvolgono un disordine quenched, il replica trick (o metodo delle repliche) è una tecnica matematica basata sulla valutazione della semplice identità:

${\displaystyle {\overline {\log(Z)}}=\displaystyle \lim _{n\to 0}{\frac {1}{n}}\log {\overline {Z^{n}}}}$,

dove ${\displaystyle Z}$ è la funzione di partizione associata al sistema, o una funzione analoga.

Se ${\displaystyle n}$ è un numero reale, non c'è vantaggio nel computare il lato destro dell'identità piuttosto che il lato sinistro. Se inoltre supponiamo che ${\displaystyle n}$ sia un numero intero, possiamo scrivere:

${\displaystyle {\overline {Z^{n}}}=\int D\sigma _{1}\dots D\sigma _{n}{\overline {e^{-\beta H(\sigma _{1},J)\,\cdots \,-\beta H(\sigma _{n},J)}}}}$

molto più semplice da computare. Quello che andiamo a fare è replicare il sistema ${\displaystyle n}$ volte, considerare tutto come funzione di ${\displaystyle n}$ e poi valutare il limite per ${\displaystyle n\to 0}$. È cruciale inoltre osservare che tutte le Hamiltoniane nella identità succitata hanno la stessa realizzazione del disordine quenched, ed in questo senso possono essere definite una la replica dell'altra.

Una differente formulazione del replica trick è la seguente,

${\displaystyle {\overline {\left\langle A\right\rangle }}={\overline {{\frac {1}{Z}}\int D\sigma A(\sigma )e^{-\beta H(\sigma ,J)}}}=\displaystyle \lim _{n\to 0}{\overline {Z^{n-1}{\int D\sigma A(\sigma )e^{-\beta H(\sigma ,J)}}}}=}$${\displaystyle \displaystyle \lim _{n\to 0}\int D\sigma _{1}\dots D\sigma _{n}A(\sigma _{1}){\overline {e^{-\beta H(\sigma _{1},J)\,\cdots \,-\beta H(\sigma _{n},J)}}}}$

dove l'etichetta ${\displaystyle 1}$ usata per la replica è stata scelta in modo totalmente arbitrario, senza perdere di generalità.

Il punto cruciale del replica trick è che mentre la media sul disordine viene effettuata assumendo che ${\displaystyle n}$ sia un numero intero, per recuperare il logaritmo medio sul disordine è necessario far tendere ${\displaystyle n}$ continuamente a zero. Questa apparente contraddizione alla base del trucco delle repliche non è mai stata risolta formalmente; tuttavia, in tutti i casi in cui il metodo delle repliche può essere confrontato con altre soluzioni esatte, i metodi portano agli stessi risultati (per dimostrare che il replica trick funziona, sarebbe necessario dimostrare che il teorema di Carlson sia valido).

Occasionalmente è necessario richiedere la proprietà aggiuntiva di rottura di simmetria di replica (RSB) al fine di ottenere risultati fisici, che è associata alla rottura dell'ergodicità.